ep103

在準備特訓課時，我領悟到了這個世界數學最根本的局限性。

這個世界的數學是靜默的。

繪製魔法陣所需的幾何學與商業所需的複雜算術。他們對於測量和描述『靜止』的事物已經相當熟練。

但也僅此而已。他們能測量箭矢的大小，卻無法描述飛行箭矢划出的拋物線軌跡。

為什麼呢？是因為尚未感受到必要性嗎？

那固然是原因之一，但最根本的原因只有一個。

『完美坐標系的缺失。』

當然，類似坐標的東西是存在的。比如製作地圖或設計城郭時使用的網格。

但那不過是根據需要記錄臨時位置的簡單標記法，並非旨在將代數學與幾何學統一起來。簡而言之，缺乏絕對基準且粗糙不堪。

回想起來，前世的情況也頗為相似。

近代初期。在笛卡爾提出我們熟悉的坐標平面提案之前，代數與幾何幾乎互不侵犯各自的領域。

一個是圖形的世界。

另一個是公式的世界。

由於沒有連接這兩個世界的橋樑，變化的現象仍停留在直覺、經驗和哲學的領域。

但當那座橋樑架起的瞬間，一切都改變了。

公式化為圖形，圖形化為公式的魔法。

『這就是笛卡爾坐標系被視為近代數學決定性起點的原因。』

而在這偉大統合的背後，還等待著真正的革命。

正是微積分學。

將靜默的數學轉變為動態學問的偉大思維轉換。

我個人認為微積分與牛頓運動定律並列為人類最高的智慧成就。

只要是理工科大學生。尤其是像我這樣的工科生，不可能不明白微積分的重要性。

從工程數學到被稱為四大力學的動力學、流體力學、熱力學、材料力學…我們學習的幾乎所有學科語言都是用微積分寫就的。畢竟世間幾乎所有自然現象，最終都以微積分方程的形式被描述，想來也是理所當然。

那麼魔法現象會是例外嗎？

比如考慮到魔力具有頻率與振動數的波動性質時，是否可以通過傅里葉變換將那複雜的波動分解分析為簡單波形的合成呢？

領悟了微積分的魔法師們，會不會正式嘗試用數值模型來模擬他們所使用的魔法與魔力現象呢？

「我選擇微積分作為第一堂課的主題，正是出於這樣的背景。」

而且我相信。

塞倫學院的才子們，定能跨越我將展示的知識門檻。

塔莎並非母獅。

這話的意思是，她沒打算魯莽地把學生們推下微積分這座懸崖。

通往微積分的道路狹窄而陡峭。要想正確引導，必須先紮實地鋪墊好基礎概念。

幸運的是她頗有自信。畢竟數學是她的強項，大學時還通過補習班兼職鍛煉過。

在完成簡單的術語和符號說明後，她將函數框架設為第一道關卡。

「所謂函數，就是根據特定輸入值導出對應輸出值的一種法則。」

雖然偶爾有人混用，但方程與函數是截然不同的概念。

打個比方。方程就像某種謎題。

往籃子里放入4個蘋果後，籃中蘋果變成了5個。那麼原先籃子里有幾個蘋果？

用x+4=5來表示的，正是方程。

正因方程與財產確認、金錢交易等日常生活密切相關，對這個世界的人們而言也並非陌生概念。

但函數卻截然不同。

「函數最大的特徵就在於它的法則性。」

塔莎再次舉例說明。

「假設有個商人總是用3枚銅幣收購1個蘋果。那麼只要知道蘋果樹上結了多少蘋果，我們就能預測未來能獲得多少銅幣。只要商人不改變主意，這個法則就會永遠有效。」

聽起來簡直是理所當然的事。

看到蜻蜓低飛就預知要下雨。通過江水水位預測河流泛濫。

像這樣根據過往先例預測未來，本是司空見慣的事。

但將這種自然現象用數字和符號表達的想法，對這個世界的人們而言卻是相當新穎的視角。

因為這無異於主張世界是由數字構成的。

與『世界由魔力構成』的普遍觀點實在相差太遠了。

「接下來我們要這樣表示函數。剛才商人的例子可以這樣表達：」

她在黑板上寫下兩個簡潔的公式。

「然後我們要把這個法則畫在名為坐標平面的平面上。」

她在公式旁邊畫了兩條相互交叉的直線。

接著在那上面用虛線添加了網格紋路，開始逐個點出碩大的圓點。隨著點與點之間的距離逐漸縮小，最終連成了一條直線。

「這叫做圖表。」

看到這裡，幾名研究生猛地打了個寒顫。

他們並非第一次聽到「圖表」這個詞。去年暑假，為了啟動貝爾迪亞魔法陣而在塔莎手下打雜時就接觸過。

項目的名稱好像是基於無量綱數和模型法則的核心魔力暴走傾向性分析…來著。

當時確實也聽到過什麼輸入啊輸出啊函數之類的討論。

那時候因為太忙亂，根本顧不上理解，只是按塔莎說的機械地打點。沒想到他們縮減睡眠時間拚命完成的那項艱苦工作，竟然遵循著這樣的原理和理論。

莫名有種奇妙的感覺。

「到這裡為止有什麼指正或提問嗎？」

「不是指正而是提問…為什麼非得把公式用圖形表示出來呢？」

塔莎像是讚許這是個好問題般點了點頭。

就在她準備立即回答時。

「…嗯？」

塔莎的視線捕捉到了坐在最前排的聖女塞莉娜。

不知為何，她緊緊閉著雙眼，用手掌死死捂住自己的耳朵。

-瑟瑟發抖…

「到底用了多大力氣啊，連身體細微的顫抖都看得一清二楚。」

「…怎麼回事。」

為什麼會這樣呢。

塔莎盯著那景象看了一會兒，很快又把注意力轉回提問上。

「抱歉。您特意用圖形表示公式的原因是…那個理由…」

塔莎的課繼續進行著。

學生們雙眼閃閃發亮地集中聽講。當場直接向她提問的人也不少，其中教授們的佔比相當高。

但看似會永遠持續的熱情，隨著塔莎的宣告迎來了新局面。

「好，那麼接下來我們開始學習二次函數。」

他們充滿自信。

二次函數？

不過是從1變成2的程度而已吧？

「二次函數的圖像會畫出這樣美麗的拋物線。」

當塔莎像之前一樣在坐標平面上描點連線時，點與點真的連接成流暢曲線。學生們邊臨摹拋物線邊等待塔莎的下句話。

「而要求這條拋物線的x截距——即圖像與x軸的交點——我們可以使用求根公式這個非常便利的工具。」

當塔莎在黑板上寫下公式時，學生們的手突然停滯了一瞬。

為什麼解個方程需要這麼醜陋的公式啊？

＂溫柔可親的塔莎似乎要解開他們的疑惑，用完全平方式在黑板上行雲流水地寫下證明過程。

就是從這時候開始的。

幾個學生的面容上開始浮現陰霾。

「好，那我們進入下一步。正式分析圖像性質。這裡最重要的概念就是斜率。這條曲線上某一點的斜率究竟是多少呢？」

「斜率不是只有直線才有嗎？」

「那麼想像把這條曲線無限放大。是不是幾乎接近直線了呢？」

她畫出像從拋物線截取下來般的直線後繼續說道：

「我們要求這個『近似直線』的斜率，就要用到讓兩點間距離無限趨近於0的概念。這叫做極限。」

「…無限趨近？」

「對。雖然不是0，但可以看作無限接近0的狀態。」

「不是0卻和0沒兩樣？」

「說『和0沒兩樣』在嚴格意義上是錯誤的。」

「…？」

疑問接二連三地冒出來。

塔莎絕非沒有耐心。

每當學生提問，她都會認真詳細地解答。她認為理解原理才是接近數學的真諦。

然而。

「……」

即便她如此熱情，仍無法填補知識的鴻溝。

或許這是理所當然的。

塔莎腦海中的數學，自笛卡爾坐標系問世以來，歷經數百年無數天才的積累成果。

剛入門的新生菜鳥們怎麼可能一蹴而就理解這些呢？

當然，這也都在預料之中。

「今天的課就到這裡。下次特訓課定在兩天後，會比今天提前兩小時開始。」

「提、提前兩小時？為什麼…」

「當然是為了複習。考慮到這些數學概念對你們而言相當陌生，每次特訓課前都會安排複習上次內容。還要講解作業呢。」

塔莎吭哧吭哧地從地板上抱起一疊紙條堆成的塔：

「數學…」

砰地放在講台上。

「…就是練習！」

——咚！

這還不是全部。

——咚！咚！咚！

兩疊、三疊、四疊。

——咚！

…最後是第五疊。

「呼…每人離開時領三十張。」

「……」

「下節課我們將探討拋物線斜率的含義，並研究物體做拋物線運動時實際受到的力。大家辛苦了。」

望著塔莎燦爛的笑容與山一般堆積的作業，教室里的眾人不約而同產生了相同的念頭。

…現在退課還來得及嗎。